Funkcją Greena równania ( 1 ) - nazywamy rozwiązanie problemu

które jest ciągłe w obszarze \( \hskip 0.3pc \overline{\Omega}\setminus \{(x_0,0)\},\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc \Omega =\big\{(x,t)\,:\, x\in \mathbb R ,\,t>0 \big\}.\hskip 0.3pc \) Aby znaleźć rozwiązanie problemu ( 2 ) rozważmy najpierw problem

gdzie \( \hskip 0.3pc H\hskip 0.3pc \) jest funkcją Heaviside'a daną wzorem

Rozwiązanie problemu ( 3 ) będziemy szukać w postaci

Podstawiając do równania ( 3 ) w miejsce \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) funkcje \( \hskip 0.3pc w\hskip 0.3pc \) otrzymamy

Kładąc \( \hskip 0.3pc s=x/\sqrt t\hskip 0.3pc \) otrzymamy równanie

natomiast warunek początkowy \( \hskip 0.3pc v(x,0)=H(x-x_0)\hskip 0.3pc \) implikuje warunki:

łatwo sprawdzić, że rozwiązaniem równania ( 4 ) jest funkcja

Z pierwszego z warunków ( 5 ) wynika, że \( \hskip 0.3pc C_2=0\hskip 0.3pc \), natomiast z drugiego, po uwzględnieniu równości

otrzymamy \( \hskip 0.3pc C_1= 1/\big(2a\sqrt{\pi}\big).\hskip 0.3pc \)
Wynika stąd, że funkcja

gdzie

jest rozwiązaniem równania \( \hskip 0.3pc a^2v_{xx}=v_t.\hskip 0.3pc \)
Łatwo zauważyć, że \( \hskip 0.3pc \displaystyle\lim_{t\to0^+}v(x,t)=1\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x>0\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \displaystyle\lim_{t\to0^+}v(x,t)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x<0.\hskip 0.3pc \) Możemy zatem przyjąć, że \( \hskip 0.3pc v(x,0)=H(x).\hskip 0.3pc \)
Zauważmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) ma w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) ciągłe pochodne \( \hskip 0.3pc v_{xxx}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc v_{xt}.\hskip 0.3pc \) Różniczkując względem \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) równanie \( \hskip 0.3pc av_{xx}=v_t\hskip 0.3pc \) otrzymamy

Oznacza to, że funkcja

jest również rozwiązaniem równania ( 1 ). Ponieważ \( \hskip 0.3pc G(x,0)=v_x(x,0) = H^\prime (x)= \delta,\hskip 0.3pc \) więc \( \hskip 0.3pc G(x-x_0,0)=\delta (x-x_0).\hskip 0.3pc \) Pokazaliśmy więc, że funkcja

jest rozwiązaniem problemu ( 2 ), czyli jest ona szukaną funkcją Greena dla problemu ( 1 ).
Standartowy rachunek pokazuje, że funkcja

jest rozwiązaniem problemu Cauchy'ego

Funkcją Greena dla problemu ( 6 ), ( 7 ) nazywamy funkcje ciągłą w obszarze \( \hskip 0.3pc \{(x,t)\,:\,0\leq x\leq l,\,\,t\geq 0\}\hskip 0.3pc \) za wyjątkiem punktu \( \hskip 0.3pc (x_0,0),\hskip 0.3pc \) spełniającą następujący problem początkowo-brzegowy:

Rozwiązanie problemu ( 8 ), ( 9 ) możemy znaleźć metodą rozdzielania zmiennych. Szukamy zatem rozwiązania w postaci \( \hskip 0.3pc u(x,t)=X(x)\, T(t).\hskip 0.3pc \) Postępując analogicznie jak w module: "Rozwiązanie równania struny ograniczonej metodą rozdzielania zmiennych" otrzymamy rozwiązanie równania ( 8 ) wyrażone wzorem

Uwzględniając warunki brzegowe dostajemy rozwiązania niezerowe dla wielkości \( \hskip 0.3pc \lambda _n={n\pi}/l, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc n \in \mathbb N,\hskip 0.3pc \) które mają postać

Funkcje Greena możemy teraz wyrazić w postaci

gdzie współczynniki \( \hskip 0.3pc A_n\hskip 0.3pc \) wyznaczymy wykorzystując warunek początkowy. W tym celu zapiszmy funkcje \( \hskip 0.3pc \delta (x-x_0)\hskip 0.3pc \) w postaci szeregu sinusów, czyli

Ponieważ \( \hskip 0.3pc G(x,0;x_0)= \delta (x-x_0),\hskip 0.3pc \) więc

skąd wynika, że

Zatem

Mając funkcje Greena, rozwiązanie problemu ( 8 ), ( 9 ) zgodnie z wzorem 7 w module "Metoda funkcji Greena dla równań parabolicznych" możemy wyrazić wzorem

gdzie \( \hskip 0.3pc \Omega =\{(x,y)\in \mathbb R^2\,:\, 0<y<x,\hskip 0.5pc x^2+y^2<R^2\}.\hskip 0.3pc \)

Funkcje Greena dla rozważanego problemu możemy wyznaczyć stosując metodę punktów symetrycznych. Niech \( \hskip 0.3pc (\xi ,\eta )\in \Omega.\hskip 0.3pc \) Dla zwięzłości zapisu posłużmy się liczbami zespolonymi. W tym celu przyjmijmy \( \hskip 0.3pc z_0=\xi +i\eta = re^{i\varphi }.\hskip 0.3pc \) Rozważmy teraz punkty: \( \hskip 0.3pc z_1=re^{i(\pi /2-\varphi )},\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc z_2=re^{i(\pi /2+\varphi )},\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc z_3=re^{i(\pi -\varphi )},\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc z_4=re^{i(\pi +\varphi )},\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc z_5=re^{i(3\pi/2 -\varphi )},\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc z_6=re^{i(3\pi/2 +\varphi )},\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc z_7=re^{i(2\pi -\varphi )}.\hskip 0.3pc \) Połóżmy \( \hskip 0.3pc \xi _k= {\rm Re}\,z_k,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \eta _k={\rm Im}\,z_k\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc k=1, \ldots ,7,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \xi _0= {\rm Re}\,z_0 = \xi\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc \eta_0={\rm Im}\,z_0= \eta\hskip 0.3pc \) (czyli \( \hskip 0.3pc z_k= \xi _k+i\,\eta _k,\quad k=0,\ldots ,7.)\hskip 0.3pc \) Zauważmy, że punkty \( \hskip 0.3pc (\xi _0,\eta _0),\, (\xi _1,\eta _1),\, \ldots \,(\xi _7,\eta _7)\hskip 0.3pc \) stanowią ciąg punktów symetrycznych odpowiednio względem prostych \( \hskip 0.3pc y=x,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y=-x\hskip 0.3pc \) oraz osi układu współrzędnych. W szczególności punkt \( \hskip 0.3pc (\xi_1, \eta_1)\hskip 0.3pc \) jest symetryczny do punktu \( \hskip 0.3pc (\xi _0,\eta _0)\hskip 0.3pc \) względem prostej \( \hskip 0.3pc y=x\hskip 0.3pc \), a punkt \( \hskip 0.3pc (\xi_7, \eta _7)\hskip 0.3pc \) do punktu \( \hskip 0.3pc (\xi_0,\eta_0)\hskip 0.3pc \) względem prostej \( \hskip 0.3pc y=0.\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc G_0\hskip 0.3pc \) bedzie funkcją Greena dla operatora Laplace'a \( \hskip 0.3pc \tfrac{\partial ^2}{\partial x^2} +\tfrac{\partial ^2}{\partial y^2}\hskip 0.3pc \) w kole \( \hskip 0.3pc x^2+y^2< R^2.\hskip 0.3pc \)
Nietrudno sprawdzić, że funkcja

spełnia warunki (i) i (ii) uwagi 1 z modułu "Funkcja Greena dla równania ciepła", a zatem jest szukaną funkcją Greena. Rozwiązanie problemu wyjściowego znajdziemy teraz wykorzystując wzór 8 z modułu "Funkcja Greena dla równania ciepła".